Ângulos complementares e suplementares

Ângulos opostos pelo vértice

Ângulos, Retas Paralelas Cortadas por Transversal e Bissetiz

Ângulo formado pelos ponteiros do relógio

Macete! 

Quando é solicitado o ângulo formado entre os ponteiros da hora e dos minutos, podemos resolver a questão usando a seguinte formula:

 

(UFRRJ) Considere um relógio cujos ponteiros movi-mentam-se proporcionalmente. 
Calcule o valor em graus do menor ângulo formado pelos ponteiros quando esse relógio marcar 14:45h.

Solução: Pela fórmula temos:

Dica! Quando o valor da hora é acima de 12h, podemos considerar seu valor congruente; no exemplo anterior se considerarmos 2h 45min, teremos:

 

Como o ângulo pedido é o menor, temos que calcular o replemento: 360 – 187,5 = 172,5º ou 172º 30´  

Ângulos – Geometria Básica

(UFMG) Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AOB, ON é a bissetriz do ângulo BOC e OP é a bissetriz do ângulo COD. A soma POD + MON é igual a:

Retas paralelas cortadas por uma transversal 
Macete! Regra do Z: Os ângulos formados pela letra “Z” (direita ou invertida) são sempre congruentes.

 

(FUVEST) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e ângulo 3 mede 55º. 
A medida, em graus, do ângulo 2 é:

a) 50º 
b) 55º 
c) 60º 
d) 80º 
e) 100º

Solução: Traçando uma reta auxiliar paralela às outras duas, teremos que o ângulo do meio é igual a soma dos ângulos extremos; com isso temos que:

x = 45º + 55º 
x = 100º 
Letra e) 

Ângulos – Geometria Básica

Tipos de Ângulos 
a) Ângulo Agudo: 0º < A < 90º 

b) Ângulo Reto: A = 90º 

c) Ângulo Obtuso: 90º < A < 180º 

d) Ângulo Raso ou Meia Volta: A = 180º 

e) Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV): São congru-entes os ângulos AOC e BOD. 

f) Ângulos Consecutivos: Possuem um lado e um vértice em comum. 
Exemplos: ângulos AOB e AOC; AOB e BOC. 

g) Ângulos Adjacentes: São ângulos consecutivos que não possuem pontos internos em comum. 
Exemplo: ângulos AOB e BOC. 

h) Ângulos Complementares: Ângulos que somados resultam em 90º. 
OBS: Complemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 90º. 

i) Ângulos Suplementares: Ângulos que somados seu valor resulta em 180º. 
OBS: Suplemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 180º. 

j) Ângulos Replementares: Ângulos que somados resultam em 360º. 
OBS: Replemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 360º.

  

Ângulos – Geometria Básica

São regiões formadas por duas semi-retas com um ponto O em comum chamado origem. Os dois princi-pais sistemas de medidas são:

Circular Sua unidade principal é o radiano (rad); tem como base o ângulo central de uma circunferência cujo arco tem a mesma medida do raio.

Sexagesimal Sua unidade principal é o grau ( º ); tem como base a divisão da circunferência em 360 partes iguais, sendo cada uma dessas partes um grau. 
Possui os submúltiplos minuto( ’ ) e segundo ( ” ), cujas equivalências são: 1º = 60’e 1’ = 60″.

Relação entre os sistemas

Geometria Plana: Paralelismo entre retas e pontos

     As tampas dos esgotos são circulares e não quadradas, porque uma tampa de esgoto quadrada poderia escorregar pelo buraco e cair dentro do esgoto, quando a voltássemos de lado.

     O maior sólido geométrico feito pelo homem é a  pirâmide de Quéops, no Egito e foi construída no século 25 a.C.. 

   Esta construção é uma das "sete maravilhas do mundo" que chegou quase intacta aos nossos dias.

    Tem de altura 138m e a base quadrada tem de lado 230m. Cobre uma área de 54000 m² e foi feita com mais de dois milhões de blocos de pedra, pesando cada um deles, em média, 2,5 toneladas.

    Segundo o historiador grego Heródoto, esta pirâmide, cujas faces laterais são triângulos isósceles, possui a seguinte propriedade: "Cada face lateral triangular tem uma área igual à do quadrado construído sobre a altura da pirâmide."

    Os egípcios construíram cerca de 80 estruturas do tipo desta pirâmide.       

    A célebre frase que Napoleão disse aos seus soldados aquando da conquista do Egito foi: "Soldados, do alto destas pirâmides quarenta séculos vos contemplam."

  

     Outra pirâmide célebre construída nos nossos dias, ou melhor, em 1988, é a pirâmide de Louvre que tem de altura 21m e a base quadrada tem 34m de lado.

     De entre todas as figuras planas com o mesmo perímetro, o círculo é a que tem maior área.

     O lançamento de um projétil sobre o qual atue somente a força da gravidade tem uma trajetória parabólica.

     A trajetória de uma partícula alfa no campo electromagnético do núcleo de um átomo traduz-se por uma hipérbole.

     Nos tempos primitivos da civilização grega, foi usado pelos gregos o triângulo de descarga, uma construção que permitia descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos túmulos e das cidadelas.

    Devido ao peso, as portas podiam abater, mas, com o triângulo esse peso era suportado pelos postes laterais que eram maciços. Os triângulos de descarga eram geralmente abertos, mas podiam ser tapados e decorados, como acontece no caso da cidade de Micenas com a porta dos leões.

     Na Expo 98, no pavilhão da Suíça, podíamos ver um hipercubo.

Geometria espacial

Pontos, retas e planos

Na geometria espacial, são conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

• Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 

• Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

   

• Planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever: